LaTeX 公式语法速成

2020 年 01 月 03 日作者：能动少C71尤佳睿 10526 字 | 30 分钟

说明：本页面从原来的「学研部排版路线中摘出」，主要针对在 Markdown 中使用 LaTeX 公式的需求。

原则上，针对学辅的资料编写工作而言，Markdown 所提供的「有限」功能已经绰绰有余，足以让我们编写出高质量、有内涵的作品。然而，有一项功能，Markdown 自身并不支持——数学公式与符号的编排、显示。

在 Markdown 中，数学公式必须引入外部的插件来实现。一般，我们采用 LaTeX 公式语法 来撰写公式的内容，而利用 MathJax 引擎将公式代码转换为真正的符号与式子。

LaTeX（正规的排版方式应该为 $\mathrm{\LaTeX}$ ）是一种文档排版代码/引擎，负责一整个文档的内容与排版。详细内容，可以参考学辅技术讲座中的相关内容。这里仅涉及其中的公式功能，原因是：LaTeX 的整个系统以难学、难用著称，但 LaTeX 公式系统却被广泛使用，几乎成为各种文档环境中公式排版的第一或唯一方式。

换句话说：LaTeX 难学，没有需求时可先搁置一旁；但 LaTeX 的公式，却值得现在就花一点时间「速成」。

1 命令与环境

在编排公式时，先应几个来自于 LaTeX 的基本概念：

命令：有如一般编程语言中的「函数」，以反斜杠 \ 开头，后接一串字母；整个命令直到一个非字母的字符截止。许多命令后往往还需要附带参数，它们通常会用一对花括号 {} 包围。
环境：有如一般编程语言中的「函数体」或「语句体」，通常由一对命令 \begin{xxx} 与 \end{xxx} 包围起来，其中 xxx 就是这个环境的名称。除此之外，一些特殊的字符也应被视为环境的定界符，例如由一对美元号 $...$ 括起来的内容也是一个环境。
字符：LaTeX 对于不同的字符有非常详尽的处理方法，在公式的代码中一般有这样几类字符：
- 特殊字符：如命令开头的反斜杠 \、标识环境的 $，以及 _、^、& 等。它们有特殊的功能，不会以它们本身的样子显示在最终的公式中。
- 定界符：主要是花括号 {} 和环境命令 \begin{xxx}...\end{xxx}，它们决定了不同命令生效的范围，同样不会以本身的样子显示在最终的公式中。
- 空白字符（如空格与换行）：在 LaTeX 公式中，一般字符间的空白字符不会显示在最终的公式中。
- 一般字符：除了以上几类之外的其他字符，它们会原样显示在公式中（样式、位置、尺寸等则会有差异）。

例如，我们来看下面的一段 LaTeX 公式代码：

$ I(x) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x $

其最终将生成公式 $I(x) = \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 。依照上面所提的几条基本概念，我们对这一串看似复杂的代码进行拆解：

代码中共出现了两个反斜杠 \，因此其中共计两个命令，分别是 \int 与 \mathrm，后者还紧跟着一个用花括号包围的参数 d。其实，\int 是积分（integral）号命令，能够生成一个积分号（ $\int$ ）；\mathrm 则是数学正体（mathematical roman style）命令，将其后的字符 $d$ 从公式默认的斜体（italic style）改为正体（ $\mathrm{d}$ ）。
整个公式为一对美元号所包围，说明其被正常地包裹在「数学环境」之中。否则，代码将不会被渲染为公式。
除开确定环境的 $ 符号，公式中还出现了两个特殊字符 _ 与 ^，它们分别表示「下标」与上标，并附属于之前的积分号命令 \int。_ 号紧跟的字符 a 成为了积分号的下标（下限），而 ^ 号紧跟的字符 b 成为了积分号的上标（上限）。另外，如果你希望生成 $\int_{12}^{24}$ 这样上标与下标不止一个字符的公式，则应在 _ 或 ^ 后将参数用花括号包起来：\int_{12}^{24}。
除开以上分析的特殊字符，其余的字符都将原样展示在公式中——正如我们所看到的那样。代码中的空格被忽略掉，渲染引擎会帮我们留出合适的间隙——在一般情况下。

2 常用命令与环境

LaTeX 公式排版的难点有二：

如何确定用哪一类命令、环境排版公式；
这些命令和环境怎么写（具体的名称、参数表等比较难记）。

这些问题会难住一些初学者，但读者应记住：只要花一段时间熟悉常见的命令与环境，并努力锻练打字能力，公式的排版将变得异常轻松。下面简单介绍一些最常用的命令、环境，之后会提供一些可供查阅的完整表格。

2.1 符号命令分类

公式中所需要的命令，无非两种：特殊数学符号（占绝大多数，如之前的 \int）、个别的样式调整（像之前的 \mathrm 一样）。前者又可进一步举例细分为如下几类：

希腊字母：出现频率很高。你只需要记得这些希腊字母的英文拼法就行，例如 \alpha 将显示为 $\alpha$ ，而 \Gamma 将生成 $\Gamma$ 。你可以在百度百科的对应页面中查找不同希腊字母的「字母名称」，这就是紧跟在 \ 后的命令名。（一些情景下已经支持直接输入 Unicode 希腊字符，例如在这个页面上的 $α$ 代码可直接生成 $α$ 。）
加减乘除：如果你的键盘上有，你可以直接打出；注意我们常用的乘号 $\times$ 应该用命令 \times，而除号 $\div$ 用命令 \div（divide）敲出（这两个符号在大学中是不常用的）。
点号：一般可用垂直居中的 \cdot（ $\cdot$ ，center dot）表示。如果需要将它们连成三个表示省略，则可以用 \cdots（ $\cdots$ ）与 \ldots（ $\ldots$ ，lower dots），后者靠在下方。垂直三点 $\vdots$ 为 \vdots（vertical dots），对角线排列的三点 $\ddots$ 为 \ddots（diagonal dots）。
比较符号：等号、大于号、小于号可直接打出，大于等于（greater or equivalent）可用 \geq（ $\geq$ ）或 \geqslant（ $\geqslant$ ，slant 表示一横的倾斜）两种风格，小于等于（less or equivalent）号类似：\leq 或 \leqslant。不等于号为 \neq（ $\neq$ ）。近似可用 \sim（ $\sim$ ，similar）或 \approx（ $\approx$ ，approximate）等符号表示。
集合关系：常用的有被包含 \subset（ $\subset$ ，subset 表「子集」）与包含 \supset（ $\subset$ ，super set 表「超集」）、真子集 \nsubseteq（ $\nsubseteq$ ，not equivalent subset），属于 \in（ $\in$ ）和不属于 \notin（ $\notin$ ）、并 \cup（ $\cup$ ，cup 表「杯子」形容了此符号的形状）、交 \cap（ $\cap$ ，cap 表「帽子」，与前者恰好方向相反）。
「大符号」：往往指那些纵向尺度较大、常有上下标的符号，包括积分号 \int（ $\int$ ）、求和号 \sum（ $\sum$ ）、连乘号 \prod（ $\prod$ ，production）、集族并集号 \bigcup（ $\bigcup$ ，与 \cup 的区别是它较大且可以有上下标）、集族交集号 \bigcap（ $\bigcap$ ）等。
定界符：通俗来说就是各种「括号」。圆括号、方括号可以直接用对应键打出。花括号 {} 被用于包藏参数、确定命令的作用范围，因此其不会显示在公式之中；如果要将其打出，则应使用 \{ 与 \}，这里的反斜杠起到了「转义」的作用（像在很多编程语言中一样）。其他可用的还有：绝对值界 | 可直接打出；范数界 \|（ $\|$ ，其效果好于直接打两条竖线 ||）；尖括号 \langle 与 \rangle（ $\langle$ 与 $\rangle$ ，left angle 与 right angle）、上取整 \lceil 与 \rceil（ $\lceil$ 与 $\rceil$ ，ceil 即「天花板」）、下取整 \lfloor 与 \rfloor（ $\lfloor$ 与 $\rfloor$ ，floor 即「地板」）。
算子：一般是用若干字母排列而成的函数名称，例如三角函数（\sin、\cos、\tan）、指数对数函数（\exp、\log、\ln）、最大值 \max 与最小值 \min、极限 \lim 等等。它们的共同特点是：命令中的字符，会以数学正体的形式显示出来，如 \sin 将显示为 $\sin$ 。它们都支持上下标。
带参命令：即必须指定参数的命令，最常用的包括：
- 分数（fraction）命令 \frac{a+b}{c+d} 生成 $\frac{a+b}{c+d}$ ，其中第一个参数为分子，第二个参数为分母。
- 组合数（binominal number，二项式系数）命令 \binom{a+b}{c+d} 生成 $\binom{a+b}{c+d}$ ，结构与分数类似。
- 根式（square root，平方根——但此命令不限于平方根）命令：\sqrt[n]{x} 生成 $\sqrt[n]{x}$ ，第一个用方括号包围的是次数（可以省略，此时表示平方根），第二个参数为被开根的内容。

几乎所有的符号命令，都可以归入以上的几个类别之中。读者如果能熟记以上所提到的这些符号，则可以在不查表的情况下应付 90% 的符号了。至于像无穷大号 \infty（ $\infty$ ，infinity）等这种常用而不能归类的孤例，读者除了记住之外，也可以时常查阅以下给出的一些「符号表」

这类表格大多数情况下没有用，少数情况下你要用——但找不到想要的符号。~~所以，百度、Google 等搜索引擎无疑是最大赢家、幕后黑手。~~

The Comprehensive LaTeX Symbol List：包含了整个 LaTeX 系统中的特殊符号，数学符号仅为其一子集；所有需要的符号一定在这里，但你需要事先翻阅，弄清其复杂的结构.
LaTeX Mathematical Symbols：仅涉及常用的符号，基本够用。内容丰富。
Codecogs 公式编辑器：一个在线编辑器，提供若干按钮，便于你通过图形化的页面找到所需的符号。境外网站，加载速度可能较慢。

2.2 样式调整命令

另一类命令是样式调整命令。

字体样式调整命令. 使用这些命令时，必须用花括号将待调整的内容包围——哪怕只有一个字符。

\mathrm 可能是最常用的一个，因为我们经常需要在默认为斜体的公式中插入正体字符（对单位、下标、自定义算子等）。不过，更推荐使用的是 \text；这个命令的机制并非单纯调整样式，但可以视为与 \mathrm 等价的命令，且比其更好用。
要打出表示数集的 $\mathbb{R}$ 、 $\mathbb{C}$ 等镂空粗体（blackboard bold）字符，应使用 \mathbb 命令。
一般的粗体（bold font shape），可以用 \mathbf 命令打出，只不过该命令对字母和数字以外的字符无效。如有需要，可以尝试 \boldsymbol 与 \bm 等命令。
其他的特殊字体还有花体（calligraphical） \mathcal 与文本体（script） \mathscr 等，它们都在数学中常用，表示较高级别的范畴（如集族、映射族等等）。

以上这些命令，不一定在所有情况下都能使用。在 LaTeX 中，这涉及到宏包的问题；在其他场合下，则取决于所用的渲染工具是否支持相应的命令。

定界符调整命令. 定界符的大小一般是固定的，这时我们可能会碰到这样的情况：输入代码

$ f(x) = ( \frac{a^x}{b} ) $

将得到

$f(x) = ( \frac{a^x}{b} )$

很显然这里的括号太小了。为此，我们可以用一些命令来调整定界符的大小。精细的做法是采用不同等级的调整命令，例如

$ f(x) = \Bigl( \frac{a^x}{b} \Bigr) $

这里用一对命令 \Bigl 与 \Bigr 吸附在左右括号之前，调整了其大小。就像下面这样，令人满意。

$f(x) = \Bigl( \frac{a^x}{b} \Bigr)$

这样的命令有很多，依次排成一个级别序列：\big、\bigg、Big、\Bigg 等。如果你对此不感兴趣，则可以在各种情况下都使用自动调整的 \left 与 \right 命令：

$ f(x) = \left( \frac{a^x}{b} \right) $

这一对通用命令可以在大部分情况下解决你的问题，但有时会产生偏差。

2.3 数学环境

所有命令都必须在数学环境之中才能被渲染为公式。一般而言，有两大类环境：

行内环境（inline）：顾名思义，指那些出现在文本行内的短小公式或符号。例如这里的公式 $a+b=c$ 便由行内数学环境所容纳。
行间环境（block 或 displayed）：较大的公式，从段落中分离出来独占一行，居中显示。例如以下的

$I(x) = \int_a^bf(x)\mathrm{d}x$

（你可以比较这个公式跟第一个例子的显示效果有何差别。）

行内环境与行间环境的使用，取决于具体需要。下面给出了一些行内与行间环境的例子；此处不再絮叨这些环境的具体用法，但给出相应的链接供读者查看。

环境特性	命令或定界符	参考或备注
行内环境	$...$ 或 `$...$`	最简单的一种
行间环境，不标号	`$$ ... $$` 或 `\[\]`	不能换行
行间环境，标号	`\begin{equation} ... \end{equation}`	不能换行
行间可换行，标号，不对齐	`\begin{gather} ... \end{gather}`	此博文的「8.8.2. 公式组」
行间可换行，标号，对齐	`\begin{align} ... \end{align}`	此博文的「8.8.2. 公式组」
行间内嵌对齐环境	`\begin{aligned} ... \end{aligned}`	必须嵌在已有的行间环境内；参考此博文的「8.8.1.2. 对齐」
行间内嵌条件环境（左侧自带一花括号）	`\begin{cases} ... \end{cases}`	必须嵌在已有的行间环境内；参考此博文的「8.8.3. 分段函数」

一般的，在某一数学环境中，如果可能的话，& 将表示「从此处开始与上下对齐」，而 \\ 将表示「在此处换行」。

以上这些公式环境，都是针对在 LaTeX 系统之外使用 LaTeX 公式而言的。部分引擎可能不支持以上的一些写法，或要求所有环境都要包在某一类定界符（如一对 $）下，请读者留意。

2.4 矩阵

矩阵是一类特殊的内嵌数学环境。通用的写法是

\begin{matrix}
a & b & c\\
d & e & f
\end{matrix}

注意这里的 matrix 环境要放在一个行间环境中。以上命令将生成

$\begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f \end{matrix}$

通常当我们使用矩阵时，都需要指定一个定界符。固然，我们可以用 matrix 环境外加两侧的自动定界符 \left 与 \right 等实现，但这过于繁琐。简要的方法是使用一些预定义、自带定界符的环境，包括：

自带圆括号 $()$ 的 pmatrix 环境；
自带方括号 $[]$ 的 bmatrix 环境；
自带花括号 $\{\}$ 的 Bmatrix 环境；
自带绝对值界的 vmatrix 环境与自带范数界的 Vmatrix 。

只需要将上面的 matrix 替换即可。此外，若要在行间打印小矩阵（如 $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)$ ，则可使用 smallmatrix 环境（定界符必须自己添加）。

2.5 上下标

上下标是除开特殊符号外最常用的一类操作，无处不在。在第一个公式样例中，我们已经说明：

_ 符号后紧跟一个字符（或用一对 {} 包起来的若干内容），将为其之前的命令或符号添加对应下标；
^ 与之机制类似，不过生成的是上标。

一般而言，这样两类对象会经常用到下标：

单个字符（ $2^3$ 、 $x_i$ ）、定界符 – 包括矩阵的定界符（ $\|\mathbf{x}\|_2$ 、 $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}\right)^\mathrm{T}$ ）；
「大符号」（ $\sum\limits_{k=0}^N$ ）、算子（ $\max\limits_{x\in X}p(x)$ ）。

这里分为两类的依据是：前者的上下标通常在主体符号的斜上方、斜下方，而后者的上下标通常在主体的正上方、正下方（「大符号」中的积分号除外，大多数人倾向于用侧旁的上下标）。这些符号在配置上下标时，通常会有一个默认设置，该设置与符号本身、所处环境类别（行内或行间）都有关，例如默认的行间求和号用的却是斜侧上下标： $\sum_{k=0}^N$ ，并不雅观。

你可以在主体符号后紧跟一个 \limits 命令（不要放在别的位置），使上下标切换至正上方、正下方；反之，紧跟一个 \nolimits 命令，将使它们切换至侧旁位置。

\limits 可以理解为：按照极限号通常的写法（ $\lim\limits_{x\to\infty}$ ）来组织上下标。

3 用「拆解法」处理公式

在掌握各种公式、环境之后，编写公式就已经是小 case 了，几乎不需要再做练习。以下提供一种名为「拆解法」的思路，供读者参考；它代表了排版一个公式时的一般思路，可以无障碍的复制到其他情形之下。

例如，考虑以下一个公式，它来自于对流体力学中 Navier-Stokes 基本方程的研究：

$\begin{aligned} & \iint_{ \mathbb{R}^3 \times (0, +\infty) }\left\{ - \sum_{i=1}^3 u_i \frac{\partial \theta_i}{\partial t} - \sum_{i,j=1}^3 u_i u_j \left( \frac{\partial \theta_i}{\partial x_j}\right) \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}t \\ = & \iint_{ \mathbb{R}^3 \times (0, +\infty) }\left\{ \nu \sum_{i,j=1}^3 \left( \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} \theta_i \right) u_i + \left( \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \theta_i}{\partial x_i} \right) p \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}t \end{aligned}$

让我们依次来拆解这个公式，确定其代码。

环境：易见这是一个行间公式，并且有一个对齐的换行（对齐了二重积分号 \iint）。所以应该采用这样的环境包围公式：
```
 $$ \begin{aligned}
 & \\
 &
 \end{aligned} $$
```
即行间公式嵌入对齐子环境。
层级结构：细数第一行（第二行类似）的定界符，发现最多只有两层：一组花括号包裹一组圆括号，并伴有一些求和号。由于定界符内有分数结构 \partial，故需用 \left 与 \right 命令调整定界符大小。在花括号外，左侧有一个双重积分号 \iint，右侧有两个微元 \mathrm{d}x、\mathrm{d}t。那么，可以初步写出两公式的层级结构：
```
 $$ \begin{aligned}
   & \iint \left\{ - \sum \frac{}{} - \sum \left( \frac{}{} \right) \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}t \\
 = & \iint \left\{ \sum \left( \frac{}{} \right) +\left( \sum \frac{}{} \right) \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}t
 \end{aligned} $$
```

填入符号：除开定界符、「大符号」之外，还有一些必要的普通符号。依次填入，并同时补上所有的上下标——在 LaTeX 中，上下标「顺水推舟」地附属于之前的符号，不需要专门规划其结构。

 $$ \begin{aligned}
   & \iint_{ \mathbb{R} \times (0, +\infty) } \left\{ - \sum_{i=1}^3 u_i \frac{\partial \theta_i}{\partial t} - \sum_{i,j=1}^3 u_i u_j\left( \frac{\partial \theta_i}{\partial x_j} \right) \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}t \\
 = & \iint_{ \mathbb{R} \times (0, +\infty) } \left\{ \nu \sum_{i,j=1}^3 \left( \frac{\partial^2}{\partial x_j^2} \theta_i \right) u_i +\left( \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \theta_i}{\partial x_i} p \right) \right\} \mathrm{d}x \mathrm{d}t
 \end{aligned} $$

由此即完成了公式的编写。这里的各个符号命令（如偏微分算子 \partial、各个希腊字母、二重积分号 \iint），都属于最常用的命令，读者应该在浏览过几次命令表格后将它们熟记。

以上这种分层拆解的方法，有利于初学者快速弄清一个复杂公式的代码结构，以尽可能少的错误、重复工作来完成公式的编写。待读者技术熟练之后，则不需要再这样从外至内的分层编写，而可以~~用一种「大江东去浪涛尽」的宏伟气势~~从头写到尾，中间基本上不会碰到什么问题——除了括号未配对、拼写错误、少打个别字符等。

在编写技术相对熟练之后，一种提高效率的手段是：压缩空格与大括号的数量（如上面一段代码中的空格大多可以去掉）。具体细节在此不详述，读者可以自行尝试——当然，提高效率的同时，会影响之后对公式代码的复查。

4 MathJax 引擎的使用

在 LaTeX 系统之外的地方（例如本页面上），如何渲染 LaTeX 公式代码呢？在种种其他的应用场景之中，网页（包括 Markdown 文档）是最为重要的一个，因此网页端的 LaTeX 渲染最值得我们关注。

早先，仿照着已经大获成功的 HTML、XML 等文档格式标准，万维网联盟（W3C）指定了「数学标记语言」MathML。其「条理清晰、逻辑严密」，只可惜格式过于复杂，难以自行撰写。例如，对于二次方程的求根公式：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

我们知道 LaTeX 代码中只需一小段代码就能解决，而 MathML 却需要这样实现：

<math mode="display" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo form="prefix">&#x2212;<!-- − --></mo>
        <mi>b</mi>
        <mo>&#x00B1;<!-- &PlusMinus; --></mo>
        <msqrt>
          <msup>
            <mi>b</mi>
            <mn>2</mn>
          </msup>
          <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
          <mn>4</mn>
          <mo>&#x2062;<!-- &InvisibleTimes; --></mo>
          <mi>a</mi>
          <mo>&#x2062;<!-- &InvisibleTimes; --></mo>
          <mi>c</mi>
        </msqrt>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>2</mn>
        <mo>&#x2062;<!-- &InvisibleTimes; --></mo>
        <mi>a</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
  <annotation encoding="TeX">
     x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  </annotation>
  <annotation encoding="StarMath 5.0">
     x={-b plusminus sqrt {b^2 - 4 ac}} over {2 a}
  </annotation>
</math>

换句话说：这种格式是给机器看的，不是给人看、给人用的。它实现了很多额外功能，例如加入了 (La)TeX、StarMath 等公式系统中的对应代码，但我们对此并不感兴趣。

鉴于 W3C 对于 XML 格式的这种执念，许多替代方案衍生出来，目前最通行的便是由美国数学学会（AMS，早先他们也曾对 LaTeX 的公式系统做出过巨大贡献）维护的 MathJax 引擎。与标记语言 MathML 不同，MathJax 并不打算重新设计公式的编码，而是直接将页面上的 LaTeX 公式代码渲染成可以显示在网页上的公式对象。

在网页上引入 MathJax 的脚本、配置之后，其将自动执行「翻译」LaTeX 代码的功能，无需再多操心。目前，大多数 Markdown 编译器都采用 MathJax 引擎渲染公式。

总之，对于读者而言，只需记住：在支持 MathJax 的系统下，可以像在 LaTeX 系统中一样输入公式，没有太大差别。

在个别情况下，MathJax 可能只能识别特定类型的数学环境。例如，本网页开发时所用的 Jekyll，配置了名为 Kramdown 的 Markdown 编译引擎，在其下只能识别用双美元号 $$ ... $$ 包围的公式（但其可以自动判断公式是行内还是行间环境）。详见本网站项目的技术文档。