高等代数

高等代数

高等代数是数学专业的基础学科之一，是日后学习矩阵分析、常微分方程等学科的基础课程之一，与数学分析、微积分课程也有着紧密的联系。

本课程介绍以北京大学出版社的《高等代数（第四版）》为蓝本，着重针对理试数学专业方向的同学。由于教学内容、课程设置、教师配备等方面的共通性，数试同学也可作为参考。

学分学时

大一上下 5 – 6 学分。每周三次课。中间穿插有习题课，无上机实验。

课程内容介绍

鉴于高等代数学科的系统性高、与高中基础数学课程的连接性紧密，这里将对高等代数课程所学习的内容做一个完整、详细的介绍。

大一上学期

1 行列式

  1. 行列式板块着重需掌握计算，要熟练运用 Cramer 法则判断齐次线性方程组的有解性，熟练掌握拉普拉斯定理按行、列展开计算三阶、四阶行列式
  2. 行列式切忌死算，拿到一个行列式，先观察是否可以通过化简找到简单的计算公式，通常我们会采取高斯变换（也即初等行变换）化为阶梯型矩阵求解。
  3. 熟练掌握几类特殊行列式的求值，如 Vandermonde 行列式、三条对角线元素相同的行列式等等。
  4. 明白行列变换对行列式值的影响。

2 线性方程组

这章内容是学习矩阵的基础，非常关键，需熟练掌握。

  1. 线性相关性是重中之重。线性相关这一概念将会延伸到整个高等代数课程的学习中，后面的线性空间，欧几里得空间本质上都是线性相关/无关性的运用，熟练掌握线性相关的定义和判断方法是基础中的基础
  2. 矩阵的秩是重点内容之一，着重理解秩的定义，和关于秩的定理，为下一章节学习矩阵乘积的秩打下基础。
  3. 线性方程组的有解判别定理有一定难度，对于证明、推导过程最好理解，当然考试百分之八十会涉及与此定理有关的计算题，因此熟练掌握计算过程也能应付。

3 矩阵

这个章节的内容可以说是极为硬核，是真正学懂、学好高等代数的最关键内容，对下学期的学习影响极为深远。你可以学不会酉空间、学不会辛空间，但你不能学不会矩阵。

  1. 矩阵的运算最后都能熟练掌握，但是着重需要理解的思想是左行乘右列，明白这个思想可以在抽象矩阵的计算中（如求转置乘积、过渡矩阵求解、相似矩阵乘积等一系列方面）运用自如。
  2. 矩阵乘积的行列式与秩：着重掌握乘积后矩阵行列式与分别行列式之间的关系、乘积后所得矩阵与分别矩阵对应的秩的关系、关于秩的一系列不等式。
  3. 矩阵的逆：掌握求解方法，着重理解概念，日后学习正交矩阵有用。
  4. 矩阵分块内容较难，严格意义上来说是非常难。着重掌握上课所讲内容，多加理解。教材 P203 29. 30 需要深度记忆、掌握。
  5. 熟练掌握实对称、反对称矩阵的性质、运算等。

4 二次型

二次型内容相较于前面两章的内容来说，属于缓冲课程，难度有所下降。

  1. 熟练掌握二次型与标准型的转化，理解二次型的矩阵表示形式。
  2. 正定二次型是重点，熟练掌握正定、半正定、不定二次型的判断方法和特点，掌握主子式判别法。值得一提的是正定二次型对于数学分析中通过 Hesse 矩阵判断解的存在性有非常重要的应用。  

    可以发现的是如果仅按课本按部就班学习，上学期是学不到特征值和特征向量这块内容的，这是非常糟糕的一件事。特征值和特征向量对于行列式、矩阵转化具有重要意义。建议大家把这部分内容先安排上，当然很多高代老师都会提前讲这部分内容。建议暑假自学的同学先学行列式和矩阵，学完这两部分就可以停了。

大一下学期

5 线性空间

线性空间是重点内容，这里不多强调其重要性。

  1. 定义很简单，掌握定义可以解决很多题目。
  2. 求维数和基与坐标是重要计算内容，一般与线性子空间交叉考察。例如求某一子空间的基，求交子空间的基，求和子空间维数等等。一定需要牢牢掌握维数公式。
  3. 熟练掌握直和判断方法以及操作的手法。

6 线性变换

这章内容非常硬核，是下半学期学习的关键与核心。考试所有内容均围绕其展开，相当重要。

  1. 着重掌握线性变换对应的矩阵和对应矩阵的特征值与特征向量以及特征多项式，会用 Hamilton-Cayley 定理简化计算。
  2. 熟练掌握求值域和核空间的方法；熟练掌握求他们的基与维数的办法；熟练掌握秩加零度定理以及它的证明过程。
  3. Jordan 标准型也是这里的重点内容。掌握一级分解、二级分解以及如何把一矩阵化为 Jordan 标准型、如何把一 Jordan 标准型化为原本形式。掌握 -矩阵求 Jordan 标准型。最好掌握 Jordan 的推导以及其中涉及到的幂零矩阵。  

    欧几里得空间和辛酉空间属于选考内容，在这里不作过多介绍。但是双线性空间是考试内容之一，往往可能有所涉及。如果想要深入了解线性空间、真正学好高等代数，上述选考内容也需认真学习。

 

课程考核标准

此处以贾慧莲老师班为例。

平时作业约占 10 分，期中 20 分，期末占 70 分。在平时作业和期中考试，老师一般不会为难学生，只要认真学习可以保证拿满分。期末考试需要认真的复习和刷题了。

学习心得与总体感受

  1. 高等代数需要大量刷题，尤其是证明题。与其说是代数，不如说是代数的证明。考试的绝大部分内容都和证明相关，因此大量的刷题是必不可少的。
  2. 对于理试同学来说，不必抱有过多的担忧，认真听好每一节课，做好每一份课后作业，是保障70分的基础。想要得到高分，和付出的努力、教师出卷难度是息息相关的。
  3. 对于数试同学来说，在本身底子较好的基础上，希望更踏实的学习这部分内容。往往很多人与高分失之交臂的原因正是出在最简单的计算上。
  4. 本课程总体难度偏难。有时考试可能不会达到课程本身的难度。在考试中得高分有时不能说明你学习的好坏，能力的高低。想要真正走好数学这条路，需要钻研每个出现的问题。
  5. 一些推荐的参考书：除了上述课本之外，交大数学学生应该人手一本丘维声老师的《高等代数》。这是目前高校中高代最经典、最适合学习、最优秀的教材，没有之一。